Овладение n ым членом геометрической последовательности: раскрытие формулы

Понимание геометрической последовательности и её n го члена

Геометрическая последовательность является увлекательной концепцией в алгебре, с которой многие студенты сталкиваются на протяжении своего математического пути. Проще говоря, геометрическая последовательность — это список чисел, где каждый следующий член после первого находится путем умножения предыдущего члена на ненулевое число, называемое общая пропорция.

Важность геометрических последовательностей

Геометрические последовательности это не просто абстрактные математические идеи, а реальные приложения в финансах, биологии и компьютерных науках. Понимание формулы для n го члена геометрической последовательности может помочь вам предсказать значения без необходимости вручную умножать каждый член.

Формула n го члена геометрической прогрессии

Формула для определения n ого члена геометрической последовательности:

ан = а1 × r(n-1)

Где:

• ан = n й член последовательности
• а1 = первый член последовательности
• П = общая ставка (должна быть ненулевым числом)
• н = позиция термина (должно быть положительным целым числом)

Разбор формулы

Давайте углубимся в каждый компонент формулы:

• Первый срок ( а1К сожалению, текст не был предоставлен для перевода. Пожалуйста, предоставьте текст, который вы хотите перевести. Начальная точка последовательности. Например, в последовательности, начинающейся с 3, а1 это 3.
• Общая пропорция (ПК сожалению, текст не был предоставлен для перевода. Пожалуйста, предоставьте текст, который вы хотите перевести. Это множитель, используемый для перехода от одного члена к следующему. Если каждое число удвоить, то П это 2. Если каждый член сокращен вдвое, П 0.5
• Позиция ( нК сожалению, текст не был предоставлен для перевода. Пожалуйста, предоставьте текст, который вы хотите перевести. Это указывает, какой элемент вы хотите найти в последовательности. Если вам нужен 5 й элемент, н это 5.

Примеры геометрической прогрессии в реальной жизни

Пример 1: Биологический рост

Представьте себе культуру бактерий, которая удваивается каждый час. Если начальная популяция составляет 100 бактерий, вы можете использовать формулу, чтобы найти количество бактерий через 5 часов:

• а1 = 100
• r = 2
• n = 6 (поскольку мы начинаем с 0 часа)

Число бактерий через 5 часов составляет:

а6 = 100 × 2(6-1) = 100 × 25 = 100 × 32 = 3200

Пример 2: Финансы

Предположим, вы инвестируете 1000 долларов в фонд, который растет на 5% в год. Чтобы выяснить, сколько у вас будет через 10 лет, вы можете установить это следующим образом:

• а1 = 1000
• r = 1.05
• n = 11 (включая год первоначальных инвестиций)

Сумма через 10 лет составит:

а11 = 1000 × 1.05(11-1) = 1000 × 1.0510 = 1000 × 1.62889 ≈ 1628.89 USD

Проверка формулы

Обеспечение того, чтобы ваши ценности имели смысл, имеет решающее значение. Вот рекомендации:

• а1Может быть любое действительное число.
• ПНе должно быть нулем.
• нД должно быть положительным целым числом.

Часто задаваемые вопросы

В: Что произойдет, если общее соотношение равно 1?

Если П=1, каждый член последовательности равен первому члену.

В: Может ли общий коэффициент быть отрицательным?

A: Да, отрицательное общее отношение приведет к чередованию терминов между положительными и отрицательными значениями.

Q: Что если мне нужно найти термин в последовательности, начинающейся с десятичных значений?

Формула работает так же хорошо для десятичных и дробных значений.

Заключение

Геометрические последовательности предлагают элегантный способ описания шаблонов и предсказания будущих значений. Будь то предсказание роста населения или расчет потенциальной прибыли от инвестиций, эта формула предоставляет доступный путь для получения значимых инсайтов.