Экспоненциальная-Функция:-Понимание-и-Вычисление-Значений-Экспоненциальной-Функции

Формула:-f(x)-=-a-*-e^(bx-+-c)

• a-=-начальное-значение-или-коэффициент-масштабирования
• e-=-число-Эйлера,-основание-натуральных-логарифмов
• b-=-скорость-роста-или-убывания
• x-=-независимая-переменная-(время,-расстояние-и-т.д.)
• c-=-горизонтальный-сдвиг-или-cмещение

Ключевые-Входные-и-Выходные-Параметры

• a:-Обычно-измеряется-в-единицах-в-зависимости-от-контекста,-например,-в-долларах-(USD)-для-финансов-или-численности-населения-для-демографических-данных.
• b:-Безразмерная-величина,-представляющая-скорость-роста-(положительная)-или-убывания-(отрицательная).
• x:-Независимая-переменная,-часто-представляющая-время-в-секундах,-годах-и-т.д.
• c:-Другой-безразмерный-номер,-используемый-для-горизонтального-сдвига-графика.
• f(x):-Выходное-значение-функции,-измеряется-в-тех-же-единицах,-что-и-a.

Вычисление-Значения-Экспоненциальной-Функции

Напишем-простую-формулу-на-JavaScript-для-вычисления-значения-экспоненциальной-функции:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Вот-как-вы-можете-применить-эту-формулу:

• Начальное-значение:-a-=-100-USD-(начальные-инвестиции-в-долларах)
• Ставка-роста:-b-=-0.05-в-год
• Время:-x-=-10-лет
• Горизонтальный-сдвиг:-c-=-0

Подставив-эти-значения-в-нашу-формулу:
f(x)-=-100-*-e^(0.05-*-10-+-0)
f(x)-=-100-*-e^0.5
f(x)-≈-100-*-1.64872
f(x)-≈-164.87-USD

Применения-Экспоненциальной-Функции-в-Реальной-Жизни

1.-Финансы---Сложные-проценты

Экспоненциальные-функции-широко-используются-в-финансах-для-расчета-сложных-процентов.-Например,-если-вы-инвестируете-1000-долларов-США-под-годовую-процентную-ставку-5%,-будущая-стоимость-через-10-лет-может-быть-рассчитана-с-помощью-экспоненциальной-функции:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Подставив-значения:
a-=-1000-USD
b-=-0.05-в-год
x-=-10-лет
c-=-0

Будущая-стоимость:-1000-*-e^(0.05-*-10)
1000-*-e^0.5-≈-1000-*-1.64872-=-1648.72-USD

2.-Рост-населения

Если-население-в-500-человек-растет-со-скоростью-3%-в-год,-то-через-20-лет-оно-составит:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Подставив-значения:
a-=-500
b-=-0.03-в-год
x-=-20-лет
c-=-0

Будущее-население:-500-*-e^(0.03-*-20)
500-*-e^0.6-≈-500-*-1.82212-=-911.06-человек

3.-Радиоактивный-распад

Радиоактивные-вещества-распадаются-с-постоянной-скоростью.-Если-вы-начинаете-с-200-граммов-вещества,-которое-распадается-со-скоростью-2%-в-год,-количество-оставшегося-вещества-через-50-лет-будет:

(a,-b,-x,-c)-=>-a-*-Math.exp(b-*-x-+-c)

Подставив-значения:
a-=-200-граммов
b-=--0.02-в-год
x-=-50-лет
c-=-0

Оставшееся-вещество:-200-*-e^(-0.02-*-50)
200-*-e^-1-≈-200-*-0.36788-=-73.58-граммов

Часто-задаваемые-вопросы-о-экспоненциальных-функциях

В:-Что-такое-число-Эйлера?

О:-Число-Эйлера,-обозначаемое-как-e,-представляет-собой-математическую-постоянную,-приблизительно-равную-2.71828.-Оно-является-основанием-натурального-логарифма.

В:-Чем-экспоненциальные-функции-отличаются-от-линейных-функций?

О:-Экспоненциальные-функции-включают-переменные-показатели-степени-и-демонстрируют-быстрый-рост-или-убывание,-тогда-как-линейные-функции-имеют-постоянные-наклоны-и-растут-с-постоянной-скоростью.

В:-Могут-ли-экспоненциальные-функции-точно-моделировать-реальные-явления?

О:-Да,-экспоненциальные-функции-эффективно-моделируют-многие-реальные-явления,-включая-рост-населения,-радиоактивный-распад-и-финансовые-инвестиции.

Резюме

Экспоненциальная-функция-—-это-универсальный-и-важный-математический-инструмент-для-моделирования-различных-сценариев-реальной-жизни.-Понимая-входные-и-выходные-параметры-экспоненциальной-функции-и-как-применять-формулу,-вы-можете-точно-предсказывать-и анализировать процессы роста и убывания. Независимо от того, расчета сложных процентов, прогнозирования роста населения или измерения радиоактивного распада, экспоненциальная функция предоставляет ценные сведения о этих динамических системах.

Tags: математика, Финансы, Моделирование роста