Интеграция с помощью подстановки: овладение основами и не только
Формула:- Представьте,-что-можно-легко-упростить-сложные-интегралы-до-решаемых,-небольших-задач.-Именно-это-и-делает-интегрирование-по-подстановке-для-вас.-Столкнувшись-с,-казалось-бы,-сложным-интегралом,-подстановка-помогает-преобразовать-его-в-форму,-которую-легче-оценить. Интегрирование-по-подстановке---это-метод,-который-упрощает-процесс-интегрирования-путем-преобразования-сложного-интеграла-в-более-простой.-По-сути,-это-обратный-процесс-правилу-цепочки-в-дифференцировании. Рассмотрим-интеграл-функции-f(x)-по-отношению-к-x.-Основные-единицы-измерения-для-этого-будут-такими-же,-как-используются-для-x-(например,-метры,-секунды).-Например,- Представьте,-что-вы-измеряете-скорость-автомобиля,-движущегося-по-изогнутому-пути,-измеряемую-в-метрах-в-секунду.-Чтобы-найти-пройденное-расстояние,-вам-нужно-решить-интеграл:- Убедитесь,-что-производная- Интегрирование-по-подстановке---это-мощная-техника,-упрощающая-интегрирование-сложных-функций.-Преобразуя-интеграл-через-переменную-подстановки,-сложная-задача-становится-выполнимой. Это-особенно-полезно-для-интегралов,-включающих-сложные-функции-или-те,-где-часть-интеграла-предполагает-более-простую-внутреннюю-функцию. Нет,-хотя-многие-интегралы-могут-быть-упрощены-с-помощью-подстановки,-это-не-универсальное-решение.-Некоторые-интегралы-могут-потребовать-других-техник,-таких-как интегрирование по частям, частичные дроби или численные методы. Убедитесь, что выбранная подстановка упрощает интеграл и правильно обрабатывайте пределы интегрирования в определенных интегралах после подстановки.integrateBySubstitution-=-(fUx,-dxDu)-=>-dxDu-===-0-?-'Ошибка:-Деление-на-ноль-не-допускается'-:-fUx-/-dxDuИнтегрирование-по-Подстановке---Открытие-Различных-Слоев-Исчисления
Что-такое-Интегрирование-по-Подстановке?
Как-Это-Работает?
∫f(x)-dx.-Идея-заключается-в-введении-новой-переменной,-u,-вместо-x,-чтобы-упростить-интеграл.Пошагово
u-=-g(x).du/dx-и-затем-выразите-dx-как-dx-=-du-/-(dg/dx).x-в-интеграле-на-новую-переменную-u-и-соответствующий-dx.u.u-на-исходную-функцию-g(x),-чтобы-получить-окончательный-ответ.Пример-из-Реальной-Жизни
∫2x-*-√(x²-+-1)-dx.u-=-x²-+-1.du/dx-=-2x,-следовательно,-du-=-2x-dx-или-dx-=-du-/-2x.∫√u-*-(du-/-2x).∫√u-*-(1-/-2)-du,-что-после-интегрирования-даст-1/3-*-u^(3/2).u-на-конечный-ответ:-1/3-*-(x²-+-1)^(3/2).Использование-Параметров
fUx-=-Оригинальная-интегральная-функция,-представленная-в-упрощенной-форме-после-подстановки,-например,-2x-для-приведенного-выше-примера.dxDu-=-Производная-подстановочной-переменной-по-отношению-к-исходной-переменной.Выходные-Данные
integratedValue-=-Результат-интеграла-после-подстановки.Проверка-Данных
dxDu-не-равна-нулю,-чтобы-избежать-ошибок-деления-на-ноль.Резюме
Часто-Задаваемые-Вопросы-об-Интегрировании-по-Подстановке
Какие-функции-можно-упростить-с-помощью-интегрирования-по-подстановке?
Можно-ли-решить-каждый-интеграл,-используя-этот-метод?
Какие распространенные ошибки следует избегать?
Tags: Калькулюс, математика, Интеграция