Математика о наибольшем общем делителе: тщательный анализ
Формула: Наибольший-общий-делитель,-часто-сокращаемый-как-НОД,-является-фундаментальным-понятием-в-математике,-особенно-в-теории-чисел.-НОД-—-это-наибольшее-положительное-целое-число,-которое-делит-каждое-из-чисел-без-остатка.-Например,-НОД-8-и-12-равен-4,-так-как-4-—-это-наибольшее-число,-которое-точно-делит-и-8,-и-12. Вот-формула-для-вычисления-НОД-с-использованием-функционального-подхода-на-JavaScript: Эта-формула-использует-рекурсивный-подход,-называемый-алгоритмом-Евклида.-Давайте-разберем-его: Предположим,-вы-хотите-найти-НОД-48-и-18.-Вычисление-выглядит-следующим-образом: Пошагово: НОД-имеет-большое-значение-в-различных-областях,-таких-как-криптография,-упрощение-дробей-в-алгебре-и-многое-другое.-Это-основа-алгоритма-Евклида,-который-важен-для-эффективного-вычисления-целочисленных-значений. Важно-убедиться,-что-как- Эта-статья-освещает-важность-и-вычисление-наибольшего-общего-делителя-(НОД).-Понимание-НОД-помогает-оптимизировать-различные-математические-операции,-делая-его-важным-инструментом-в-арсенале-любого-математика. A:-НОД-двух-простых-чисел-всегда-равен-1.-Например,-НОД-17-и-19-равен-1,-потому-что-у-них-есть-только-один-общий-делитель. A:-Нет,-НОД-двух-чисел-не-может-быть-больше,-чем-самое-маленькое-число-из-двух. A:-Технически,-НОД-определяется-для-неотрицательных-целых-чисел-в-контексте-алгоритма-Евклида.-Использование-отрицательных-целых чисел отклоняется от традиционной концепции. A: НОК (наименьшее общее кратное) и НОД связаны уравнением: gcd-=-(a,-b)-=>-{-if-(a-<-0-||-b-<-0)-return-"Оба-числа-должны-быть-неотрицательными-целыми-числами";-if-(!Number.isInteger(a)-||-!Number.isInteger(b))-return-"Оба-числа-должны-быть-целыми";-return-a-===-0-?-b-:-gcd(b-%-a,-a);-}
Понимание-наибольшего-общего-делителя-(НОД)
Определение-формулы
gcd-=-(a,-b)-=>-{-if-(a-<-0-||-b-<-0)-return-"Оба-числа-должны-быть-неотрицательными-целыми-числами";-if-(!Number.isInteger(a)-||-!Number.isInteger(b))-return-"Оба-числа-должны-быть-целыми";-return-a-===-0-?-b-:-gcd(b-%-a,-a);-}
a
:-Первый-ввод-целого-числаb
:-Второй-ввод-целого-числаgcd
:-Функция,-которая-возвращает-наибольший-общий-делитель-a
-и-b
Пример-для-иллюстрации
gcd(48,-18)
---Оба-числа-положительные,-продолжаем-по-формуле:-18-%-48
-=-18,-так-что-мы-вызываем-gcd(18,-48-%-18)
-или-gcd(18,-30)
30-%-18-=-12
,-так-что-мы-вызываем-gcd(18,-12)
gcd(12,-18-%-12)
-или-gcd(12,-6)
6-%-12
-=-6,-так-что-мы-вызываем-gcd(6,-0)
6
.6
.Почему-НОД-важен?
Использование-параметров:
a
:-Первый-неотрицательный-целый-(например,-количество-яблок)b
:-Второй-неотрицательный-целый-(например,-количество-апельсинов)Выход:
gcd(a,-b)
:-Возвращает-наибольший-общий-делительПроверка-данных
a
,-так-и-b
-являются-неотрицательными-целыми-числами-для-корректной-работы-формулы.-Отрицательные-числа-или-нецелые-входные-значения-должны-приводить-к-ошибке-или-осмысленному-сообщению.Примеры-действительных-значений:
a
-=-48b
-=-18Примеры-недействительных-значений:
a
-=--5-(отрицательные-целые-числа-не-допускаются)b
-=-7.5-(нецелые-числа-не-допускаются)Резюме
Часто-задаваемые-вопросы
Q:-Каков-НОД-двух-простых-чисел?
Q:-Может-ли-НОД-быть-больше,-чем-наименьшее-из-двух-чисел?
Q:-Ограничивается-ли-вычисление-НОД-только-положительными-целыми-числами?
Q: Как НОД связан с НОК?
НОД(a, b) * НОК(a, b) = a * b
.
Tags: Теория чисел, математика, Алгоритмы