функция Эйлера φ: ключ к теории чисел и криптографии


Вывод: нажмите рассчитать

Формула:-phi(n)-=-n-*-(1---1/p1)-*-(1---1/p2)-*-...-*-(1---1/pk)

Понимание-функции-Эйлера

Функция-Эйлера,-обозначенная-как-φ(n)-или-phi(n),-является-значимой-концепцией-в-теории-чисел,-влияющая-на-различные-математические-анализы-и-криптографические-алгоритмы,-такие-как-RSA.-Она-определяется-как-количество-чисел-до-n,-которые-взаимно-просты-(не-имеющие-общих-делителей,-кроме-1)-с-n.-Взаимно-простые-числа-с-n-—-это-числа-меньше-n,-которые-имеют-только-число-1-в-качестве-общего-делителя.

Формула-функции-Эйлера

Функция-вычисляется-по-формуле:

φ(n)-=-n-*-(1---1/p1)-*-(1---1/p2)-*-...-*-(1---1/pk)

где-p1,-p2,-...,-pk-—-это-различные-простые-множители-n.-Эта-формула-произведения-выведена-из-принципа-включения-исключения.

Разложение-на-простые-множители

Для-вычисления-φ(n)-важно-найти-различные-простые-множители.-Например,-если-n-равно-12,-его-простые-множители-—-это-2-и-3.-Это-переводится-в:

  • φ(12)-=-12-*-(1---1/2)-*-(1---1/3)
  • φ(12)-=-12-*-1/2-*-2/3-=-4

Это-означает,-что-есть-четыре-числа-(1,-5,-7-и-11)-меньше-12,-которые-взаимно-просты-с-12.

Показательный-пример

Чтобы-лучше-понять,-давайте-вычислим-φ-для-другого-числа,-скажем,-30.

  • Простые-множители-30:-2,-3-и-5
  • φ(30)-=-30-*-(1---1/2)-*-(1---1/3)-*-(1---1/5)
  • φ(30)-=-30-*-1/2-*-2/3-*-4/5-=-8

Таким-образом,-восемь-чисел-(1,-7,-11,-13,-17,-19,-23-и-29)-являются-взаимно-простыми-с-30.

Применение-на-практике

Функция-Эйлера-особенно-важна-в-алгоритме-шифрования-RSA,-который-является-краеугольным-камнем-современной-цифровой-безопасности.-В-этом-алгоритме-выбор-открытых-и-закрытых-ключей-включает-вычисления-тутеанта.-Знание-количества-чисел,-которые-могут-служить-ключами-для-шифрования,-усиливает-криптографическую-защиту.

Основные-применения

Некоторые-использования-φ(n)-включают-криптографию,-решение-диофантовых-уравнений-и-понимание-структуры-различных-алгебраических-систем.-Она-играет-фундаментальную-роль-в-изучении-распределения-целых-чисел.

Вычисление-φ(n)-на-JavaScript

Давайте-рассмотрим-код-JavaScript-для-этого:

const-gcd-=-(a,-b)-=>-b-===-0-?-a-:-gcd(b,-a-%-b);const-isCoprime-=-(a,-b)-=>-gcd(a,-b)-===-1;const-phi-=-(n)-=>-{--if-(n-<=-0)-return-'Input-must-be-a-positive-integer.';--let-result-=-1;--for-(let-i-=-2;-i-<-n;-i++)-{----if-(isCoprime(i,-n))-result++;--}--return-result;};

Тесты-примеров

Протестируйте-функцию-с-этими-значениями:

Входное-значениеОжидаемый-результат
11
21
32
42
54
308

Проверка-данных

Функция-обеспечивает,-что-ввод-является-положительным-целым-числом,-возвращая-сообщение-об-ошибке-в-противном-случае.

Часто-задаваемые-вопросы

  • Вопрос:Что-такое-взаимно-простые-или-относительно-простые-числа?
    Ответ:Два-числа-являются-взаимно-простыми,-если-их-наибольший-общий-делитель-(НОД)-равен-1,-что-означает,-что-у-них-нет-общих-положительных-целых-факторов,-кроме-1.
  • Вопрос:Можно-ли-вычислить-φ(n)-для-простых-чисел?
    Ответ:Да,-для-простого-числа-p,-φ(p)-=-p---1,-так-как-все-числа-меньше-p-взаимно-просты-с-p,-кроме-самого-p.
  • Вопрос:Почему-функция-тотиента-важна-в-шифровании-RSA?
    Ответ:Функция-помогает-определять-ключи-шифрования-и-дешифрования,-обеспечивая-безопасность-сообщений.

Резюме

Функция-Эйлера-является-основополагающей-концепцией-в-теории-чисел, необходимой для современной криптографии и теории целых чисел. Понимание и вычисление φ(n) открывает двери к продвинутым математическим и практическим приложениям, от безопасной интернет коммуникации до теоретических исследований.

Tags: Теория чисел, Криптография, математика